Comprar una participación de un fondo de inversión tiene riesgo puesto que los rendimientos que realmente se obtendrán no son conocidos con certeza. Entonces decimos que esos valores son una variable aleatoria. A priori no podemos conocer el valor que tomará pero si podremos calcular estimadores como la rentabilidad esperada (media ponderada) o la volatilidad (desviación típica).
Imaginemos que queremos una idea de la volatilidad de un fondo o de un activo como Telefónica antes de invertir. Lo habitual es coger los precios diarios de Telefónica, calcular los rendimientos diarios y en base a ellos la desviación típica. La desviación típica (raíz cuadrada de la varianza) es un “estimador” de la volatilidad.
En definitiva, estamos suponiendo (aunque sea de manera inconsciente) que la volatilidad histórica es una buena estimación de la volatilidad futura sin darnos cuenta que estamos confundiendo estimador con predictor.
Cuando estimamos en base a datos históricos, implícitamente, suponemos que los rendimientos del fondo o de Telefónica se distribuyen como una normal con media y varianza desconocidas. Nuestro objetivo es buscar predictores para ambas pero lo que realmente obtenemos son estimadores. Hacemos los cálculos y obtenemos ambas magnitudes. Hemos caracterizado los rendimientos históricos. ¿Hemos realizado alguna predicción? No.
Un predictor implica retrasos. Por ejemplo, la volatilidad de mañana es la de hoy más lo que ocurra mañana. Algo así como:
Siendo conscientes de esta y otras limitaciones (ya las iremos viendo), vamos a admitir que la volatilidad histórica es un referente adecuado acerca de lo que nos depara el futuro. ¿ Podemos tomar decisiones adecuadas en base a la volatilidad? ¿Se puede decidir adecuadamente en base a la información que nos ofrece un solo número?
Aquí entra la simulación Monte Carlo (en adelante “MC”). MC consiste en repetir muchas veces un cierto experimento aleatorio ( por ej. la evolución de Telefónica) y realizar medidas estadísticas para tomar decisiones. Mediante MC vamos a poder generar miles de sendas de la variable.
Pongamos un ejemplo de cómo aplicar MC a una situación ficticia. Queremos analizar nuestra inversión en Telefónica. Cuando la realizamos estimamos que tenía una rentabilidad esperada del 10% y volatilidad 25% estimada en función de su trayectoria histórica ajustada mas unos comentarios que un amigo me hizo comiendo el otro día y los de una asesor de los que salen en Bloomberg TV.
Aquí podemos ver precios diarios de Telefónica los 3 últimos años.
Ahora simulamos 100 trayectorias de evolución utilizando Monte Carlo. Antes teníamos una sola senda. Ahora cada línea representa una senda posible del activo:
Llama la atención que hay trayectorias (historias alternativas) muy positivas pero también las hay muy negativas para nuestra cartera. Veo que hay una trayectoria que ha llegado hasta 40 euros pero también hay bastantes en torno a 10 euros.
Ahora pienso que la decisión de invertir en Telefónica basada en el resultado “esperado” (un 10%) y la volatilidad del 25% no ha sido tan buena. Tal vez nunca la habría tomado si hubiera tenido una idea más completa de todos los posibles resultados (puedo llegar a perder 8 euros por acción). Véase la Regla 8 – Nunca cruce un río que “en media” tenga 1,5 m de profundidad.
Podemos ver la simulación MC como algo complementario. Ahora no estamos prediciendo, solo estamos simulando. El ejercicio de predicción se realizó al calcular la volatilidad esperada (más precisamente su estimador).
Simulemos de nuevo pero esta vez con una volatilidad del 30%. Aparecen sendas con valores de 8 euros lo que representa unas pérdidas de 10 euros. Aumentar un 5% la volatilidad ha tenido importantes consecuencias. MC me permite percibir con mayor claridad el efecto del incremento de la volatilidad en mi inversión.
¿Qué otras ventajas tiene utilizar MC? Como hemos visto, una ventaja es que Monte Carlo genera una imagen de los posibles resultados. Otra ventaja es que ahora tenemos un montón de sendas en base a la cuales podemos calcular algunos estadísticos complementarios, además de rentabilidad y volatilidad, que nos permitan decidir mejor como el VaR, la pérdida máxima, el drawdown (potencial de caída o valor máximo que toma el VaR durante el año) , etc.
Como podemos intuir, la simulación Monte Carlo convierte el ordenador en un potente laboratorio de simulación. Usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas o empíricas podemos resolver muchos problemas relacionados con el azar donde el tiempo juega un papel importante.
En este ejemplo se ha utilizado la distribución normal pero hay metodologías que permiten ajustar distribuciones a los datos empíricos, como las mixturas de normales, y generar trayectorias con mucha mayor precisión. Pero eso ya es otra historia…
Nota técnica : Para las simulaciones anteriores se ha utilizado un Movimiento Browniano Geométrico tal que:
Donde S(t) es el precio simulado. dS es el incremento del precio simulado. r es el tipo interés sin riesgo o deriva del proceso. dt es el salto de tiempo al que se simula. sigma es la volatilidad del activo. dWt es un movimiento browniano o parte aleatoria del proceso. Un incremento del valor de S (Telefónica) es igual a la suma de la tendencia:
más la variabilidad representada por:
Después de cierto trabajo matemático se obtiene la solución de la ecuación diferencial anterior:
Con esta ecuación ya podemos simular. La simulación de las trayectorias se puede realizar programando en Excel o Matlab:
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